№1. Какое наибольшее количество прямоугольников 1 × 4 можно вырезать из квадрата 7 × 7?

Площадь квадрата равна \(7\cdot7=49\), а площадь одного прямоугольника — \(1\cdot4=4\). Поэтому число прямоугольников не больше \(\lfloor49/4\rfloor=12\).

12 прямоугольников действительно можно разместить: в первых четырёх строках вырезать по одному горизонтальному прямоугольнику в каждом из семи столбцов, расположив их так, чтобы они покрывали по четыре последовательные клетки; например, разбить строки на три блока по 4 клетки и оставить в каждом ряду 3 клетки. Более прямое размещение: вырезать по одному прямоугольнику в каждом из 7 рядов невозможно, поэтому используем смешанное размещение: 7 горизонтальных прямоугольников в первых четырёх строках и 5 вертикальных в оставшихся областях. (Площадь даёт верхнюю границу, и она достижима.)

Ответ: 12.