1. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник? Сделайте рисунок. 2. В треугольнике АВС проведена биссектри- са AL, угол ALC равен 112°, угол АВС равен 106°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах. 3. Сторона АВ треугольника АВС продолжена за точку В. На продолжении отмечена точка D так, что ВС=BD. Найдите величину угла, BCD если угол АСВ равен 75°, a угол ВАС равен 35°. 4. Укажите номера верных утверждений: 1) Все диаметры окружности равны между собой. 2) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 180° 3) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины противолежащей основанию, делит основание на две равные части.

Решение:

1. 1. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Треугольник имеет три медианы.
   Рисунок:
   
   
   A
   B
   C
   
   m_a
   
   m_c
   
   m_b
   
   D (середина AB)
   
   E (середина BC)
   
   F (середина AC)
   
2. 2. В \( \triangle ALC \), \( \angle LAC + \angle LCA + \angle ALC = 180° \). \( \angle LAC + \angle LCA + 112° = 180° \). \( \angle LAC + \angle LCA = 68° \). Так как AL — биссектриса \( \angle BAC \), то \( \angle BAC = 2 \cdot \angle LAC \). В \( \triangle ABC \), \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180° \). \( 2 \cdot \angle LAC + 106° + \angle LCA = 180° \). \( 2 \cdot \angle LAC + \angle LCA = 74° \). У нас есть система уравнений: \( \angle LAC + \angle LCA = 68° \) и \( 2 \cdot \angle LAC + \angle LCA = 74° \). Вычитая первое уравнение из второго: \( (2 \cdot \angle LAC + \angle LCA) - (\angle LAC + \angle LCA) = 74° - 68° \). \( \angle LAC = 6° \). Тогда \( \angle LCA = 68° - 6° = 62° \). \( \angle ACB = \angle LCA = 62° \).
3. 3. В \( \triangle ABC \): \( \angle ACB = 75° \), \( \angle BAC = 35° \). \( \angle ABC = 180° - (75° + 35°) = 180° - 110° = 70° \). Так как \( BC = BD \), то \( \triangle BCD \) — равнобедренный. Угол \( \angle CBD \) — внешний угол \( \angle ABC \), значит \( \angle CBD = 180° - 70° = 110° \). В равнобедренном \( \triangle BCD \), \( \angle BCD = \angle BDC = \frac{180° - \angle CBD}{2} = \frac{180° - 110°}{2} = \frac{70°}{2} = 35° \).
4. 4. Утверждение 1 верно: все диаметры окружности равны между собой, так как они проходят через центр и равны двум радиусам. Утверждение 2 неверно: сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, а не 180°. Утверждение 3 верно: биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины противолежащей основанию, является также медианой и высотой, т.е. делит основание на две равные части.

Ответ: 1. Три медианы; 2. 62°; 3. 35°; 4. 1, 3.