1. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 30 + 15√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Обозначим длину каждого катета через a. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна a√2, а радиус вписанной окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

r = (2a − a√2)/2 = a(2 − √2)/2.

Подставим a = 30 + 15√2:

r = (30 + 15√2)(2 − √2)/2 = 30/2 = 15.

Ответ: 15.