Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 1. Кондитер испек 35 рогаликов. Известно, что 10 рогаликов он полил глазурью и 20 рогаликов посыпал сахарной пудрой.…Фото задания

Ответ:

Краткое пояснение: Задача решается с помощью принципа включения-исключения. Всего рогаликов — 35. С глазурью — 10, с пудрой — 20. Сумма рогаликов с глазурью и пудрой = 10 + 20 = 30. Если бы эти множества не пересекались, то всего было бы 30 рогаликов. Но у нас 35 рогаликов, значит, минимум 35 - 30 = 5 рогаликов имеют оба покрытия. Количество рогаликов без покрытий = 35 - (количество с глазурью или пудрой). Максимальное количество рогаликов с хотя бы одним покрытием = 30. Тогда минимальное количество рогаликов без покрытий = 35 - 30 = 5. Минимальное количество рогаликов с обоими покрытиями = 30 - 35 = -5, что невозможно, значит, минимум 0. Максимальное число рогаликов с обоими покрытиями равно минимуму из общего числа рогаликов с глазурью и пудрой, т.е. min(10, 20) = 10.

Пошаговое решение:

  • Обозначения:
    • Общее количество рогаликов (U) = 35
    • Рогалики с глазурью (G) = 10
    • Рогалики с пудрой (P) = 20
    • Рогалики с глазурью И пудрой (G ∩ P)
    • Рогалики с глазурью ИЛИ пудрой (G ∪ P)
    • Рогалики без глазури И без пудры (¬G ∩ ¬P)
  • Расчет минимального количества рогаликов с обоими покрытиями:
    • G ∪ P = G + P - (G ∩ P)
    • Так как G ∪ P ≤ U (количество рогаликов с хотя бы одним покрытием не может превышать общее количество рогаликов), то:
    • 10 + 20 - (G ∩ P) ≤ 35
    • 30 - (G ∩ P) ≤ 35
    • -(G ∩ P) ≤ 5
    • G ∩ P ≥ -5 (это не несет информации, так как количество не может быть отрицательным)
    • Другой подход: G ∪ P = G + P - (G ∩ P). Максимальное значение G ∪ P = 35.
    • 35 ≥ 10 + 20 - (G ∩ P)
    • 35 ≥ 30 - (G ∩ P)
    • (G ∩ P) ≥ 30 - 35
    • (G ∩ P) ≥ -5. Это означает, что минимальное количество рогаликов с обоими покрытиями может быть 0, если бы числа были другими.
    • Правильный подход: Количество рогаликов, имеющих хотя бы одно покрытие (глазурь ИЛИ пудру), равно: G ∪ P = G + P - (G ∩ P).
    • Известно, что общее количество рогаликов 35.
    • Известно, что G=10, P=20.
    • Максимальное значение G ∪ P = 35.
    • Минимальное значение G ∪ P = max(G, P) = 20.
    • Минимальное значение G ∩ P = G + P - max(G ∪ P) = 10 + 20 - 35 = -5. Это неверно.
    • Правило: Количество элементов в объединении двух множеств не может быть больше общего числа элементов.
    • G ∪ P ≤ 35
    • 10 + 20 - (G ∩ P) ≤ 35
    • 30 - (G ∩ P) ≤ 35
    • (G ∩ P) ≥ 30 - 35
    • (G ∩ P) ≥ -5. Так как количество не может быть отрицательным, минимальное значение G ∩ P = 0.
    • НО! Условие гласит, что некоторые рогалики могут иметь оба покрытия.
    • Более точный расчет минимума:
    • min(G ∩ P) = G + P - U (если G+P > U)
    • min(G ∩ P) = 10 + 20 - 35 = -5. Это означает, что пересечение может быть 0.
    • Если G+P <= U, то min(G ∩ P) = 0.
    • Если G+P > U, то min(G ∩ P) = G + P - U.
    • В нашем случае G+P = 30, U = 35. Значит, G+P < U. Следовательно, минимальное пересечение может быть 0.
    • Однако, есть ограничение: 10 рогаликов имеют глазурь, 20 имеют пудру.
    • Минимальное число рогаликов с обоими покрытиями = (Число с глазурью) + (Число с пудрой) - (Общее число) = 10 + 20 - 35 = -5. Это означает, что пересечение может быть 0, если бы 30 ≤ 35.
    • Правильное рассуждение:
    • Пусть x - число рогаликов с обоими покрытиями.
    • Тогда рогаликов только с глазурью = 10 - x.
    • Тогда рогаликов только с пудрой = 20 - x.
    • Рогаликов без покрытий = 35 - ( (10 - x) + (20 - x) + x ) = 35 - (30 - x) = 5 + x.
    • Так как количество рогаликов не может быть отрицательным:
    • 10 - x ≥ 0 => x ≤ 10
    • 20 - x ≥ 0 => x ≤ 20
    • 5 + x ≥ 0 => x ≥ -5 (неинформативно)
    • Из этих условий следует, что 0 ≤ x ≤ 10.
    • Проверяем утверждения:
    • 1) Найдется 12 рогаликов, на которых и глазурь, и сахарная пудра.
    • Возможно ли x = 12? Нет, потому что x ≤ 10. Утверждение неверно.
    • 2) Найдется 5 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры.
    • Количество рогаликов без покрытий = 5 + x.
    • Если x = 0 (минимальное значение), то рогаликов без покрытий = 5 + 0 = 5.
    • Значит, найдется 5 рогаликов без покрытий. Утверждение верно.
    • 3) Рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная пудра, не может оказаться меньше 14.
    • Минимальное значение x = 0. Утверждение неверно.
    • 4) Рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры, не может оказаться больше 15.
    • Количество рогаликов без покрытий = 5 + x.
    • Максимальное значение x = 10.
    • Максимальное количество рогаликов без покрытий = 5 + 10 = 15.
    • Значит, количество рогаликов без покрытий не может оказаться больше 15. Утверждение верно.

    Финальный ответ:

    • Утверждение 2 верно (5 рогаликов без покрытий).
    • Утверждение 4 верно (не более 15 рогаликов без покрытий).

    Ответ: 24