3.В фирме работает 60 сотрудников, из них 50 человек владеют английским языком, а 15 — французским. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях, и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов. 1) Каждый сотрудник этой фирмы, кто владеет английским языком, владеет и французским. 2) Хотя бы три сотрудника этой фирмы владеют и английским, и французским языками. 3) Не более 15 сотрудников этой фирмы владеют и английским, и французским языками. 4) В этой фирме нет ни одного человека, владеющего английским, но не владеющего французским языком.

Пошаговое решение:

• Обозначения:
• Общее количество сотрудников (U) = 60
• Сотрудники, владеющие английским (А) = 50
• Сотрудники, владеющие французским (Ф) = 15
• Сотрудники, владеющие обоими языками (А ∩ Ф)
• Сотрудники, владеющие хотя бы одним языком (А ∪ Ф)
• Расчет минимального количества сотрудников, владеющих обоими языками:
• Формула: А ∪ Ф = А + Ф - (А ∩ Ф)
• Так как А ∪ Ф ≤ U, то:
• 50 + 15 - (А ∩ Ф) ≤ 60
• 65 - (А ∩ Ф) ≤ 60
• -(А ∩ Ф) ≤ 60 - 65
• -(А ∩ Ф) ≤ -5
• А ∩ Ф ≥ 5
• Таким образом, минимум 5 сотрудников владеют обоими языками.
• Расчет максимального количества сотрудников, владеющих обоими языками:
• Максимальное пересечение равно минимуму из общего числа сотрудников, владеющих каждым языком:
• max(А ∩ Ф) = min(А, Ф) = min(50, 15) = 15
• Значит, 5 ≤ (А ∩ Ф) ≤ 15.
• Проверяем утверждения:
• 1) Каждый сотрудник этой фирмы, кто владеет английским языком, владеет и французским.
• Это означало бы, что все 50 сотрудников, владеющих английским, также владеют французским. То есть (А ∩ Ф) = 50. Но максимум может быть только 15. Утверждение неверно.
• 2) Хотя бы три сотрудника этой фирмы владеют и английским, и французским языками.
• Минимальное значение (А ∩ Ф) = 5. Поскольку 5 > 3, то хотя бы три сотрудника владеют обоими языками. Утверждение верно.
• 3) Не более 15 сотрудников этой фирмы владеют и английским, и французским языками.
• Максимальное значение (А ∩ Ф) = 15. Поскольку 15 ≤ 15, то не более 15 сотрудников владеют обоими языками. Утверждение верно.
• 4) В этой фирме нет ни одного человека, владеющего английским, но не владеющего французским языком.
• Это означало бы, что все, кто владеет английским, также владеют французским. То есть, количество сотрудников, владеющих только английским, равно 0.
• Количество владеющих только английским = А - (А ∩ Ф) = 50 - (А ∩ Ф).
• Если это равно 0, то 50 - (А ∩ Ф) = 0, значит (А ∩ Ф) = 50. Но максимум (А ∩ Ф) = 15.
• Следовательно, утверждение неверно. (На самом деле, минимальное число владеющих только английским = 50 - 15 = 35. Максимальное число владеющих только английским = 50 - 5 = 45).

Финальный ответ:

• Утверждение 2 верно (минимум 5 сотрудников владеют обоими языками).
• Утверждение 3 верно (максимум 15 сотрудников владеют обоими языками).

Ответ: 23