2. В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают исторический кружок, а 10 — химический. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях, и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов. 1) Каждый учащийся этого класса посещает оба кружка. 2) Найдутся хотя бы двое учащихся этого класса, кто посещает оба кружка. 3) Каждый, кто посещает исторический кружок, обязательно посещает и химический кружок. 4) Меньше 11 человек посещают и исторический кружок, и химический кружок.

Question

Вопрос:

Фото задания: 2. В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают исторический кружок, а 10 — химический. Выберите утверждения,…

2. В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают исторический кружок, а 10 — химический. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях, и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов. 1) Каждый учащийся этого класса посещает оба кружка. 2) Найдутся хотя бы двое учащихся этого класса, кто посещает оба кружка. 3) Каждый, кто посещает исторический кружок, обязательно посещает и химический кружок. 4) Меньше 11 человек посещают и исторический кружок, и химический кружок.

Accepted Answer

Краткое пояснение: Используем принцип включения-исключения для решения задачи. Общее количество учеников — 20. Исторический кружок (И) — 13, Химический кружок (Х) — 10.

Пошаговое решение:

Обозначения:

Общее количество учеников (U) = 20
Ученики, посещающие исторический кружок (И) = 13
Ученики, посещающие химический кружок (Х) = 10
Ученики, посещающие оба кружка (И ∩ Х)
Ученики, посещающие хотя бы один кружок (И ∪ Х)

Расчет минимального количества учеников, посещающих оба кружка:

Формула: И ∪ Х = И + Х - (И ∩ Х)
Так как И ∪ Х ≤ U, то:
13 + 10 - (И ∩ Х) ≤ 20
23 - (И ∩ Х) ≤ 20
-(И ∩ Х) ≤ 20 - 23
-(И ∩ Х) ≤ -3
И ∩ Х ≥ 3
Таким образом, минимум 3 ученика посещают оба кружка.

Расчет максимального количества учеников, посещающих оба кружка:

Максимальное пересечение равно минимуму из общего числа учеников в каждом кружке:
max(И ∩ Х) = min(И, Х) = min(13, 10) = 10
Значит, 3 ≤ (И ∩ Х) ≤ 10.

Проверяем утверждения:
1) Каждый учащийся этого класса посещает оба кружка.
Это означало бы, что (И ∩ Х) = 20. Но максимум может быть только 10. Утверждение неверно.
2) Найдутся хотя бы двое учащихся этого класса, кто посещает оба кружка.
Минимальное значение (И ∩ Х) = 3. Поскольку 3 > 2, то найдется хотя бы двое учащихся, посещающих оба кружка. Утверждение верно.
3) Каждый, кто посещает исторический кружок, обязательно посещает и химический кружок.
Это означало бы, что все 13 учеников, посещающих исторический кружок, также посещают химический. То есть (И ∩ Х) = 13. Но максимум может быть только 10. Утверждение неверно.
4) Меньше 11 человек посещают и исторический кружок, и химический кружок.
Максимальное значение (И ∩ Х) = 10. Поскольку 10 < 11, то меньше 11 человек посещают оба кружка. Утверждение верно.

Финальный ответ:

Утверждение 2 верно (минимум 3 ученика посещают оба кружка).
Утверждение 4 верно (максимум 10 учеников посещают оба кружка, что меньше 11).

Ответ: 24