1. Квадрат. Свойства квадрата. Доказать, что если в ромбе диагонали равны, то ромб является квадратом. 2. Центральный угол. Свойство центрального угла. 3. Сторона ромба равна 4, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба. 4. Высота ВД треугольника АВС делит сторону АС на отрезки, равные 7 см. и 4 см. Площадь треугольника равна 55см². Найти длину ВД.

Билет №5

3. Решение:

1. В ромбе все стороны равны, значит, AB = BC = CD = DA = 4.
2. Один из углов ромба равен 150°. В ромбе противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
3. Следовательно, углы ромба равны 150°, 30°, 150°, 30°.
4. Пусть угол B = 150°, тогда угол A = 30°.
5. Высоту ромба можно найти, проведя высоту из вершины B к стороне AD (или из вершины C к стороне AD, или из D к AB, или из B к DC).
6. Рассмотрим треугольник ABH, где BH — высота, проведенная к стороне AD. Угол BAH = 30°.
7. В прямоугольном треугольнике ABH: sin(30°) = BH / AB.
8. BH = AB * sin(30°) = 4 * 0.5 = 2.
9. Высота ромба равна 2.

4. Решение:

1. Высота ВД треугольника АВС делит сторону АС на отрезки.
2. Пусть точка Д лежит на стороне АС. Тогда AC = AD + DC.
3. По условию, отрезки равны 7 см и 4 см.
4. Возможны два случая:
• Случай 1: AD = 7 см, DC = 4 см. Тогда AC = 7 + 4 = 11 см.
• Случай 2: AD = 4 см, DC = 7 см. Тогда AC = 4 + 7 = 11 см.
5. В любом случае, длина основания AC = 11 см.
6. Площадь треугольника равна 55 см².
7. Формула площади треугольника: S = (1/2) * основание * высота.
8. 55 = (1/2) * AC * ВД.
9. 55 = (1/2) * 11 * ВД.
10. 110 = 11 * ВД.
11. ВД = 110 / 11 = 10 см.

Ответ: 3. 2; 4. 10 см