1. Линейное однородное ДУ n-го порядка, теорема о структуре его общего решения

1. Линейное однородное дифференциальное уравнение (ДУ) n-го порядка

Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:

\[ y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x) y' + a_0(x) y = 0 \]

где \( y^{(k)} \) — k-я производная функции \( y(x) \), а \( a_i(x) \) — известные функции (коэффициенты). Если коэффициенты \( a_i \) являются константами, уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами.

Теорема о структуре общего решения

Если \( y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x) \) — фундаментальная система решений (линейно независимых решений) линейного однородного ДУ n-го порядка, то любое другое решение этого уравнения может быть представлено в виде их линейной комбинации:

\[ y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + \dots + C_n y_n(x) \]

где \( C_1, C_2, \dots, C_n \) — произвольные постоянные.

Фундаментальная система решений — это набор из \( n \) линейно независимых решений однородного ДУ n-го порядка.

Линейная независимость означает, что ни одно из решений нельзя выразить как линейную комбинацию остальных.

Итого: Общее решение линейного однородного ДУ n-го порядка равно линейной комбинации его фундаментальной системы решений.