2. Найти интервал сходимости степенного ряда: ∑ (n=1 до ∞) (nx^n / 5^n)

2. Нахождение интервала сходимости степенного ряда

Дан степенной ряд: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx^n}{5^n} \)

Для нахождения радиуса сходимости \( R \) используем признак Даламбера. Пусть \( u_n = \frac{nx^n}{5^n} \).

1. Найдём предел отношения модулей последующего и предыдущего членов ряда:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)x^{n+1}}{5^{n+1}} \cdot \frac{5^n}{nx^n} \right| \]

\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n+1}{n} \cdot \frac{5^n}{5^{n+1}} \cdot \frac{x^{n+1}}{x^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \left(1 + \frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{5} \cdot x \right| \]

\[ L = \left| \frac{x}{5} \right| \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right) = \left| \frac{x}{5} \right| \cdot 1 = \left| \frac{x}{5} \right| \]

2. По признаку Даламбера ряд сходится абсолютно, если \( L < 1 \):

\[ \left| \frac{x}{5} \right| < 1 \implies |x| < 5 \]

Радиус сходимости \( R = 5 \). Центр интервала сходимости — \( x_0 = 0 \). Следовательно, ряд абсолютно сходится на интервале \( (-5, 5) \).

3. Проверим сходимость на концах интервала:

При \( x = 5 \):

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \cdot 5^n}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} n \]

Этот ряд расходится, так как общий член ряда \( n \) не стремится к нулю ( \( \lim_{n \to \infty} n = \infty \) ).

При \( x = -5 \):

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \cdot (-5)^n}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \cdot (-1)^n \cdot 5^n}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} n (-1)^n \]

Этот ряд также расходится, так как общий член ряда \( n (-1)^n \) не стремится к нулю ( \( \lim_{n \to \infty} n (-1)^n \) не существует).

Итого: Интервал сходимости ряда — \( (-5, 5) \).

Ответ: Интервал сходимости: \( (-5, 5) \).