3. Решить ДУ: y' - y/x = x³.

3. Решение дифференциального уравнения

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка:

\[ y' - \frac{1}{x} y = x^3 \]

Это уравнение вида \( y' + P(x) y = Q(x) \), где \( P(x) = -\frac{1}{x} \) и \( Q(x) = x^3 \).

Решим его методом вариации постоянной. Сначала найдём общее решение соответствующего однородного уравнения:

\[ y' - \frac{1}{x} y = 0 \]

\[ y' = \frac{1}{x} y \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} y \]

Разделим переменные:

\[ \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x} \]

Интегрируем обе части:

\[ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x} \]

\[ \ln|y| = \ln|x| + C \]

\[ \ln|y| = \ln|x| + \ln(e^C) \]

\[ \ln|y| = \ln(e^C |x|) \]

\[ |y| = e^C |x| \]

Пусть \( C_1 = \pm e^C \). Тогда общее решение однородного уравнения:

\[ y_{ож}(x) = C_1 x \]

Теперь найдём частное решение неоднородного уравнения, полагая \( y = C(x) x \), где \( C(x) \) — неизвестная функция.

Найдем производную \( y' \):

\[ y' = C'(x) x + C(x) \]

Подставим \( y \) и \( y' \) в исходное уравнение:

\[ (C'(x) x + C(x)) - \frac{1}{x} (C(x) x) = x^3 \]

\[ C'(x) x + C(x) - C(x) = x^3 \]

\[ C'(x) x = x^3 \]

\[ C'(x) = \frac{x^3}{x} = x^2 \]

Интегрируем \( C'(x) \) для нахождения \( C(x) \):

\[ C(x) = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_2 \]

Подставим найденную \( C(x) \) в выражение для \( y \):

\[ y(x) = C(x) x = \left( \frac{x^3}{3} + C_2 \right) x \]

\[ y(x) = \frac{x^4}{3} + C_2 x \]

Итого: Общее решение дифференциального уравнения.

Ответ: \( y(x) = \frac{x^4}{3} + Cx \), где \( C \) — произвольная постоянная.