1. Лодка переплывает реку по кратчайшему пути в системе отсчёта, связанной с берегом. Скорость течения реки \(u\), а скорость лодки относительно воды \(v\) (причём \(v>u\)). Чему равен модуль скорости лодки относительно берега?

Чтобы путь относительно берега был кратчайшим, скорость лодки относительно берега должна быть перпендикулярна берегу. Поэтому составляющая скорости лодки против течения компенсирует скорость течения.

По теореме Пифагора для вектора скорости лодки относительно воды: \(v^2=u^2+v_{б}^{\,2}\), где \(v_{б}\) — скорость лодки относительно берега.

Отсюда \(v_{б}=\sqrt{v^2-u^2}\).

Ответ: \(\sqrt{v^2-u^2}\).