1) $\log_{x^2}(x-2)^2-\log_x(3-3x)\le 0$

Question

Вопрос: $Фото задания: 1) $\log_{x^2}(x-2)^2-\log_x(3-3x)\le 0$$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: основание второго логарифма требует $x>0$, а аргумент $3-3x>0$ даёт $x<1$. Поэтому $0<x<1$; на этом промежутке основания допустимы.

Так как $\log_{x^2} A=\frac12\log_x A$, получаем:

\[\frac12\log_x (x-2)^2-\log_x(3-3x)=\log_x\frac{2-x}{3-3x}\le 0.\]

При $0<x<1$ основание $x$ меньше единицы, поэтому логарифм убывает и неравенство равносильно $\frac{2-x}{3-3x}\ge 1$.

\[2-x\ge 3-3x\quad\Longrightarrow\quad x\ge\frac12.\]

Ответ: $x\in\left[\frac12,1\right)$.

1) \(\log_{x^2}(x-2)^2-\log_x(3-3x)\le 0\)