1. Луч OB делит угол AOC на два угла. а) Найдите углы AOB и BOC, если ∠AOC = 140°, а угол AOB в 3 раза больше угла BOC; ∠AOC = 120°, а угол AOB в 5 раз меньше угла BOC. б) Луч OD — биссектриса угла AOC. Найдите угол BOD.

а) Первый случай.

Пусть \(\angle BOC=x\). Тогда \(\angle AOB=3x\).

Так как \(\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC\), получаем:

\(3x+x=140^\circ\),
\(4x=140^\circ\),
\(x=35^\circ\).

Следовательно, \(\angle BOC=35^\circ\), а \(\angle AOB=3\cdot35^\circ=105^\circ\).

Второй случай. Пусть \(\angle AOB=x\). Тогда \(\angle BOC=5x\).

\(x+5x=120^\circ\),
\(6x=120^\circ\),
\(x=20^\circ\).

Следовательно, \(\angle AOB=20^\circ\), а \(\angle BOC=100^\circ\).

б) Первый случай: луч OD делит угол AOC пополам, поэтому \(\angle AOD=70^\circ\). Тогда \(\angle BOD=105^\circ-70^\circ=35^\circ\).

Второй случай: \(\angle AOD=120^\circ:2=60^\circ\). Тогда \(\angle BOD=60^\circ-20^\circ=40^\circ\).

Ответ: а) 105° и 35°; 20° и 100°. б) 35°; 40°.