1) M(−5; 7), N(3; −1), P(3; 5), K(−5; −3). Найти: а) координаты векторов MN, PK; б) длину вектора NP; в) координаты точек A — середины MN и B — середины PK; г) координаты векторов AB и MK; д) скалярное произведение векторов MN и NP.

Question

Вопрос:

Фото задания

1) M(−5; 7), N(3; −1), P(3; 5), K(−5; −3). Найти: а) координаты векторов MN, PK; б) длину вектора NP; в) координаты точек A — середины MN и B — середины PK; г) координаты векторов AB и MK; д) скалярное произведение векторов MN и NP.

Accepted Answer

а) Координаты вектора находятся вычитанием координат его начала из координат конца:

\(\overrightarrow{MN}=(3-(-5);\,-1-7)=(8;\,-8)\).

\(\overrightarrow{PK}=(-5-3;\,-3-5)=(-8;\,-8)\).

б) \(\overrightarrow{NP}=(3-3;\,5-(-1))=(0;\,6)\), поэтому \(|\overrightarrow{NP}|=\sqrt{0^2+6^2}=6\).

в) Координаты середины отрезка — полусуммы соответствующих координат концов:

\(A\left(\frac{-5+3}{2};\frac{7+(-1)}{2}\right)=(-1;3)\).

\(B\left(\frac{3+(-5)}{2};\frac{5+(-3)}{2}\right)=(-1;1)\).

г) \(\overrightarrow{AB}=(-1-(-1);\,1-3)=(0;\,-2)\).

\(\overrightarrow{MK}=(-5-(-5);\,-3-7)=(0;\,-10)\).

д) \(\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{NP}=8\cdot0+(-8)\cdot6=-48\).

Ответ: \(\overrightarrow{MN}=(8;−8)\), \(\overrightarrow{PK}=(−8;−8)\), \(|\overrightarrow{NP}|=6\), \(A=(−1;3)\), \(B=(−1;1)\), \(\overrightarrow{AB}=(0;−2)\), \(\overrightarrow{MK}=(0;−10)\), \(\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{NP}=−48\).