1. Можно ли так расставить в клетках таблицы 2 × 3 попарно различные натуральные числа, чтобы сумма чисел в любой строке и в любом столбце являлась простым числом?

Нет, нельзя.

1. Сумма в каждом столбце состоит из двух различных натуральных чисел. Она не может быть равна 2, поэтому все три простые суммы столбцов — нечётные.
2. Сумма трёх попарно различных натуральных чисел не может быть равна 2. Значит, суммы в двух строках также являются нечётными простыми числами.
3. Сумма трёх нечётных чисел нечётна, а сумма двух нечётных чисел чётна. Но сумма всех чисел таблицы одновременно равна сумме сумм строк и сумме сумм столбцов. Получили противоречие.

Ответ: расставить такие числа невозможно.