1. На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и №. Известно, что LNBA = 5°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Задание 1. Угол в окружности

Дано:

• Окружность с диаметром AB.
• Точки M и N на окружности.
• Угол LNBA = 5°.

Найти: угол NMB.

Решение:

1. Угол NBA вписан в окружность и опирается на дугу NA.
2. Угол NMA также вписан в окружность и опирается на ту же дугу NA.
3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, LNBA = L NMA = 5°.
4. Угол NMB является частью угла NMB, но прямой зависимости от LNBA у него нет. Нужно рассмотреть треугольник NMB.
5. Угол NMB является вписанным углом, опирающимся на дугу NB.
6. Угол NAB также вписан и опирается на дугу NB.
7. Следовательно, L NMB = L NAB.
8. Угол NBA является вписанным и опирается на дугу NA.
9. Угол NOA (центральный) равен удвоенному вписанному углу NMA.
10. В треугольнике NMB, если мы найдем угол BNM и угол NBM, то сможем найти L NMB.
11. Обратим внимание на треугольник NMB. MB является диаметром. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым. Значит, L NMB = 90°.
12. Ошибка в рассуждении выше. Рассмотрим другой подход.
13. Угол NBA равен 5°. Этот угол вписанный и опирается на дугу NA.
14. Значит, центральный угол NOA равен 2 * 5° = 10°.
15. Угол NMB — это вписанный угол. Он опирается на дугу NB.
16. Чтобы найти угол NMB, нам нужно найти дугу NB.
17. Угол NAB вписанный и опирается на дугу NB.
18. Угол NBA = 5° опирается на дугу NA.
19. Угол MNB вписан и опирается на диаметр MB, значит, LMNB = 90°.
20. Угол NMB является частью угла NMB.
21. Пусть L NMB = x.
22. В треугольнике NMB сумма углов равна 180°.
23. L MNB = 90° (опирается на диаметр).
24. L NBM — этот угол нам неизвестен.
25. L NM B — этот угол нам нужно найти.
26. Рассмотрим треугольник NAB. Угол NAB и угол NMB опираются на одну дугу NB. Следовательно, L NAB = L NMB.
27. В треугольнике NBA, угол NAB + угол NBA + угол ANB = 180°.
28. Мы знаем L NBA = 5°.
29. Угол ANB опирается на диаметр AB, поэтому L ANB = 90°.
30. Следовательно, L NAB = 180° - 90° - 5° = 85°.
31. Так как L NMB = L NAB, то L NMB = 85°.

Ответ: 85