3. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 14 и ВС = 36. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Задание 3. Касательная к окружности

Дано:

• Отрезок AB.
• Точка C на отрезке AB.
• AC = 14.
• BC = 36.
• Окружность с центром A, проходящая через C.
• BT — касательная к окружности, проведенная из точки B, где T — точка касания.

Найти: длину отрезка касательной BT.

Решение:

1. Радиус окружности с центром A, проходящей через C, равен AC.
2. Таким образом, радиус r = AC = 14.
3. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
4. Следовательно, L ATB = 90°.
5. Точка T лежит на окружности, значит, AT — это радиус окружности, AT = 14.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ATB.
7. Гипотенузой в этом треугольнике является отрезок AB.
8. Длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и CB: AB = AC + CB = 14 + 36 = 50.
9. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ATB: \[ AB^2 = AT^2 + BT^2 \]
10. Выразим длину касательной BT: \[ BT^2 = AB^2 - AT^2 \]
11. Подставим известные значения: \[ BT^2 = 50^2 - 14^2 \]
12. Вычислим: \[ BT^2 = 2500 - 196 = 2304 \]
13. Найдем длину BT, извлекая квадратный корень: \[ BT = \sqrt{2304} \]
14. Для извлечения корня можно разложить 2304 на множители или заметить, что 50^2 = 2500, а 14^2 = 196.
15. Вычислим корень: 40^2 = 1600, 50^2 = 2500. Число заканчивается на 4, значит, корень может заканчиваться на 2 или 8. Проверим 48: 48 * 48 = (50-2)*(50-2) = 2500 - 2*50*2 + 4 = 2500 - 200 + 4 = 2304.
16. Итак, BT = 48.

Ответ: 48