1. На рисунке МК — хорда окружности с центром О. 1) Найдите ∠OMK, если ∠MOK = 82°. 2) Найдите радиус окружности, если он на 4 см больше хорды МК, а периметр треугольника МОК равен 44 см.

Решение:

1. 1) Нахождение ∠OMK:

   Треугольник МОК является равнобедренным, так как стороны МО и ОК — радиусы окружности. Следовательно, углы при основании равны:

   \[ \angle OMK = \angle OKM \]

   Сумма углов в треугольнике равна 180°. Поэтому:

   \[ \angle OMK + \angle OKM + \angle MOK = 180° \]

   \[ 2 \angle OMK + 82° = 180° \]

   \[ 2 \angle OMK = 180° - 82° \]

   \[ 2 \angle OMK = 98° \]

   \[ \angle OMK = \frac{98°}{2} = 49° \]

2. 2) Нахождение радиуса:

   Обозначим радиус окружности как R, а хорду МК как c.

   Из условия задачи:

   • R = c + 4
   • Периметр треугольника МОК = R + R + c = 44

   Подставим первое уравнение во второе:

   \[ (c + 4) + (c + 4) + c = 44 \]

   \[ 3c + 8 = 44 \]

   \[ 3c = 44 - 8 \]

   \[ 3c = 36 \]

   \[ c = 12 см \]

   Теперь найдем радиус:

   \[ R = c + 4 = 12 + 4 = 16 см \]

Ответ: 1) 49°, 2) 16 см