3. Отрезки МК и РТ являются диаметрами окружностей с общим центром О. Докажите, что МТ и РК параллельны.

Решение:

Рассмотрим треугольники ΔMOT и ΔPOK.

• Стороны MO, OT, PO, OK — это радиусы одной окружности, следовательно, они равны: MO = OT = PO = OK = R.
• Углы ∠MOT и ∠POK являются вертикальными углами, поэтому они равны: ∠MOT = ∠POK.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники ΔMOT и ΔPOK равны:

\[ \triangle MOT = \triangle POK \]

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности:

\[ \angle OMT = \angle OPK \]

Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых МТ и РК секущей МО.

Так как накрест лежащие углы равны, то прямые МТ и РК параллельны.

Что и требовалось доказать.