1. На рисунке прямые АС и BD касаются в точках СиД окружности с центром О, причем ∠A = ∠B. Докажите, что ΔAOC = ΔBOD.

Задание 1. Доказательство равенства треугольников

Дано: окружность с центром О, прямые АС и BD касаются окружности в точках C и D соответственно. ∠A = ∠B.

Доказать: ΔAOC = ΔBOD.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники ΔAOC и ΔBOD.
2. Углы ∠A и ∠B равны по условию.
3. Стороны OC и OD являются радиусами окружности, поэтому OC = OD.
4. Углы ∠ACO и ∠BDO являются углами между касательной и радиусом, проведенным в точку касания. Следовательно, они равны 90° (∠ACO = ∠BDO = 90°).
5. Рассмотрим треугольник ΔAOC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, ∠AOC = 180° - ∠A - ∠ACO = 180° - ∠A - 90° = 90° - ∠A.
6. Рассмотрим треугольник ΔBOD. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, ∠BOD = 180° - ∠B - ∠BDO = 180° - ∠B - 90° = 90° - ∠B.
7. Поскольку ∠A = ∠B, то и 90° - ∠A = 90° - ∠B. Следовательно, ∠AOC = ∠BOD.
8. Теперь у нас есть два угла и сторона между ними в каждом треугольнике:
   • ∠A = ∠B (по условию)
   • ∠AOC = ∠BOD (доказано выше)
   • OC = OD (радиусы)
9. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольники ΔAOC и ΔBOD равны.

Что и требовалось доказать.