3. К окружности с центром О проведена касательная РК (К — точка касания). Найдите радиус окружности, если ∠РОК = 60°, OP = 12.

Задание 3. Радиус окружности

Дано:

• Окружность с центром О.
• Касательная РК.
• К — точка касания.
• ∠РОК = 60°.
• OP = 12.

Найти: радиус окружности (ОК).

Решение:

1. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠ОКР = 90°.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔОКР.
3. Нам известны гипотенуза OP = 12 и угол ∠РОК = 60°.
4. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. У нас есть угол 60°, значит, другой острый угол ∠OPK = 90° - 60° = 30°.
5. Катет ОК лежит против угла ∠OPK = 30°.
6. Поэтому радиус окружности ОК равен половине гипотенузы OP: \[ \text{ОК} = \frac{1}{2} \text{OP} \]
7. Подставим значение OP: \[ \text{ОК} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \]

Ответ: Радиус окружности равен 6.