1. На рёбрах SA, SB и SC тетраэдра SABC выбраны точки K, L и M так, что SK : KA = SL : LB = SM : MC. Докажите, что плоскости KLM и ABC параллельны. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника KLM равна 15 см² и SK : KA = 3 : 2.

Так как точки K, L и M делят рёбра в одинаковом отношении, имеем \(\frac{SK}{SA}=\frac{SL}{SB}=\frac{SM}{SC}\). По обратной теореме Фалеса плоскости KLM и ABC параллельны.

Из отношения \(SK:KA=3:2\) следует, что \(SK:SA=3:(3+2)=3:5\). Поэтому коэффициент подобия треугольников KLM и ABC равен \(\frac{3}{5}\), а отношение их площадей — \(\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{9}{25}\).

\(S_{ABC}=15\cdot\frac{25}{9}=\frac{125}{3}\text{ см}^2\).

Ответ: плоскости KLM и ABC параллельны; площадь треугольника ABC равна \(\frac{125}{3}\text{ см}^2\).