3. Три плоскости параллельны. Скрещивающиеся прямые l₁ и l₂ пересекают эти плоскости в точках A₁, A₂, A₃ и B₁, B₂, B₃ в указанном порядке. Найдите длины отрезков A₁A₃ и B₁B₃, если B₁B₂ = 12 см, A₂A₃ = 5 см, A₁A₂ : B₂B₃ = 3 : 5.

По теореме о пропорциональных отрезках, отсекаемых параллельными плоскостями на секущих, \(\frac{A_1A_2}{B_1B_2}=\frac{A_2A_3}{B_2B_3}\).

Обозначим \(A_1A_2=3x\), \(B_2B_3=5x\), используя данное отношение. Подставим известные длины: \(\frac{3x}{12}=\frac{5}{5x}\). Отсюда \(3x^2=12\), поэтому \(x=2\) (длины положительны).

Тогда \(A_1A_2=6\) см, \(B_2B_3=10\) см. Складываем соседние отрезки: \(A_1A_3=A_1A_2+A_2A_3=6+5=11\) см; \(B_1B_3=B_1B_2+B_2B_3=12+10=22\) см.

Ответ: \(A_1A_3=11\) см, \(B_1B_3=22\) см.