№1 На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD отмечены точки M и N так, что AM = CN. Докажите, что четырёхугольник MBND — параллелограмм.

Обозначим через t долю стороны AB, которую составляет AM: пусть \(AM=t\cdot AB\). Так как \(AB\parallel CD\) и \(AB=CD\), из условия \(CN=AM\) следует, что \(CN=t\cdot CD\).

Тогда \(MB=(1-t)\cdot AB\), а \(DN=(1-t)\cdot CD\). Поскольку \(AB\parallel CD\) и \(AB=CD\), получаем \(MB\parallel DN\) и \(MB=DN\).

В четырёхугольнике MBND одна пара противоположных сторон равна и параллельна. Значит, MBND — параллелограмм.

Ответ: MBND — параллелограмм.