1. Найди длину отрезка, обозначенного буквой x: а) стороны 7 и √18 образуют угол 45°; x — третья сторона; б) стороны √27 и 2 образуют угол 150°; x — третья сторона.

Используем теорему косинусов: квадрат стороны, лежащей напротив известного угла, равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

а) Угол 45° заключён между сторонами 7 и √18, поэтому

\(x^2=7^2+(\sqrt{18})^2-2\cdot7\cdot\sqrt{18}\cdot\cos45^\circ\).

\(x^2=49+18-14\sqrt{18}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=67-14\sqrt9=67-42=25\).

Так как длина положительна, \(x=5\).

б) Угол 150° заключён между сторонами √27 и 2, поэтому

\(x^2=(\sqrt{27})^2+2^2-2\cdot\sqrt{27}\cdot2\cdot\cos150^\circ\).

\(x^2=27+4-4\cdot3\sqrt3\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=31+18=49\).

Так как длина положительна, \(x=7\).

Ответ: а) 5; б) 7.