1. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: f(x) = x³ – 6x² + 9, [-2;2]

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9 \) на отрезке \( [-2; 2] \), выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = 3x^2 - 12x \).
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( 3x^2 - 12x = 0 \) \( 3x(x - 4) = 0 \). Отсюда \( x = 0 \) или \( x = 4 \).
3. Выберем критические точки, принадлежащие отрезку \( [-2; 2] \). Это \( x = 0 \). Точка \( x = 4 \) не принадлежит отрезку.
4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
   • \( f(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 + 9 = -8 - 6(4) + 9 = -8 - 24 + 9 = -23 \).
   • \( f(0) = (0)^3 - 6(0)^2 + 9 = 9 \).
   • \( f(2) = (2)^3 - 6(2)^2 + 9 = 8 - 6(4) + 9 = 8 - 24 + 9 = -7 \).

Сравнив полученные значения, находим наибольшее и наименьшее.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 9, наименьшее — -23.