3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 1+2x² - x⁴ на отрезке [-1; 2]

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( f(x) = 1 + 2x^2 - x^4 \) на отрезке \( [-1; 2] \), выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = 4x - 4x^3 \).
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( 4x - 4x^3 = 0 \) \( 4x(1 - x^2) = 0 \). Отсюда \( x = 0 \), \( x = 1 \) или \( x = -1 \).
3. Выберем критические точки, принадлежащие отрезку \( [-1; 2] \). Это \( x = -1 \), \( x = 0 \), \( x = 1 \).
4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
   • \( f(-1) = 1 + 2(-1)^2 - (-1)^4 = 1 + 2(1) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2 \).
   • \( f(0) = 1 + 2(0)^2 - (0)^4 = 1 \).
   • \( f(1) = 1 + 2(1)^2 - (1)^4 = 1 + 2 - 1 = 2 \).
   • \( f(2) = 1 + 2(2)^2 - (2)^4 = 1 + 2(4) - 16 = 1 + 8 - 16 = -7 \).

Сравнив полученные значения, находим наибольшее и наименьшее.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 2, наименьшее — -7.