1. Найдите область определения функции: y = lg(3x+1)/(x-4)

Решение:

Область определения логарифмической функции определяется условиями:

1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: \( \frac{3x+1}{x-4} > 0 \).

Решаем неравенство \( \frac{3x+1}{x-4} > 0 \).

Найдем корни числителя и знаменателя:

• Числитель: \( 3x+1 = 0 \rightarrow x = -\frac{1}{3} \).
• Знаменатель: \( x-4 = 0 \rightarrow x = 4 \).

Разместим корни на числовой прямой и определим знаки дроби на интервалах:

При \( x < -\frac{1}{3} \), например \( x=-1 \), \( \frac{3(-1)+1}{-1-4} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5} > 0 \). Интервал: \( (-\infty; -\frac{1}{3}) \).

При \( -\frac{1}{3} < x < 4 \), например \( x=0 \), \( \frac{3(0)+1}{0-4} = \frac{1}{-4} < 0 \). Интервал: \( (- \frac{1}{3}; 4) \).

При \( x > 4 \), например \( x=5 \), \( \frac{3(5)+1}{5-4} = \frac{16}{1} > 0 \). Интервал: \( (4; +\infty) \).

Так как нам нужно \( \frac{3x+1}{x-4} > 0 \), то область определения функции:

\( x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (4; +\infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (4; +\infty) \).