3. Найдите все решения уравнения 3 tg^2 x − 1 = 0.

Решение:

Перепишем уравнение:

\[ 3 \mathrm{tg}^2 x - 1 = 0 \]

Выразим \( \mathrm{tg}^2 x \):

\[ 3 \mathrm{tg}^2 x = 1 \]

\[ \mathrm{tg}^2 x = \frac{1}{3} \]

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\[ \mathrm{tg} x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} \]

\[ \mathrm{tg} x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Это означает, что нам нужно найти решения для двух уравнений:

1. \( \mathrm{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
2. \( \mathrm{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)

Для первого уравнения \( \mathrm{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}} \), частный случай, имеем:

\[ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Для второго уравнения \( \mathrm{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \), частный случай, имеем:

\[ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Объединяя оба решения, можно записать:

\[ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \).