1) Найдите область определения функции: y = ln((x+9)/(3x-1))

Решение:

Для нахождения области определения функции \( y = \ln(\frac{x+9}{3x-1}) \) необходимо, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля:

\[ \frac{x+9}{3x-1} > 0 \]

Решим данное неравенство методом интервалов:

1. Найдём корни числителя и знаменателя:
• Числитель: \( x+9 = 0 \Rightarrow x = -9 \)
• Знаменатель: \( 3x-1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \)
2. Разместим корни на числовой оси: -9 и 1/3.
3. Рассмотрим знаки выражения \( \frac{x+9}{3x-1} \) на интервалах:
• При \( x < -9 \) (например, \( x = -10 \)): \( \frac{-10+9}{3(-10)-1} = \frac{-1}{-31} > 0 \)
• При \( -9 < x < \frac{1}{3} \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{0+9}{3(0)-1} = \frac{9}{-1} < 0 \)
• При \( x > \frac{1}{3} \) (например, \( x = 1 \)): \( \frac{1+9}{3(1)-1} = \frac{10}{2} > 0 \)
4. Так как нам нужно \( \frac{x+9}{3x-1} > 0 \), то решениями являются интервалы \( x < -9 \) и \( x > \frac{1}{3} \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -9) \cup (\frac{1}{3}; +\infty) \).