3) Решите уравнения: a) 2^(7-5x) - (1/8)^(2x+1) = 0; б) 2 sin^2(x) - 3 sin(x) + 1 = 0

Решение:

а) \( 2^{7-5x} - (\frac{1}{8})^{2x+1} = 0 \)

1. Перенесём второе слагаемое в правую часть: \( 2^{7-5x} = (\frac{1}{8})^{2x+1} \)
2. Приведём основания к одному виду. Заметим, что \( \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} \).
3. Тогда уравнение примет вид: \( 2^{7-5x} = (2^{-3})^{2x+1} \)
4. Упростим правую часть: \( 2^{7-5x} = 2^{-3(2x+1)} \)
5. \( 2^{7-5x} = 2^{-6x-3} \)
6. Так как основания степеней равны, приравняем показатели:
7. \( 7-5x = -6x-3 \)
8. \( -5x + 6x = -3 - 7 \)
9. \( x = -10 \)

Ответ к а): \( x = -10 \).

б) \( 2 \sin^2(x) - 3 \sin(x) + 1 = 0 \)

1. Сделаем замену переменной. Пусть \( t = \sin(x) \). Так как \( -1 \le \sin(x) \le 1 \), то \( -1 \le t \le 1 \).
2. Уравнение примет вид: \( 2t^2 - 3t + 1 = 0 \)
3. Решим квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта:
• \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1 \)
• \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)
• \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
4. Оба значения \( t_1 = 1 \) и \( t_2 = \frac{1}{2} \) удовлетворяют условию \( -1 \le t \le 1 \).
5. Теперь вернёмся к замене:
• Случай 1: \( \sin(x) = 1 \)
• \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)
• Случай 2: \( \sin(x) = \frac{1}{2} \)
• \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \), где \( k, m \in \mathbb{Z} \)

Ответ к б): \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \), где \( n, k, m \in \mathbb{Z} \).