2) Решите неравенства: a) ((x-11)(3x-8))/(6-x) < 0; б) 8^x < 4^(x^2-1)

Решение:

а) \( \frac{(x-11)(3x-8)}{6-x} < 0 \)

1. Найдём корни числителя и знаменателя:
• \( x-11 = 0 \Rightarrow x = 11 \)
• \( 3x-8 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{3} \)
• \( 6-x = 0 \Rightarrow x = 6 \)
2. Разместим корни на числовой оси: 8/3, 6, 11.
3. Рассмотрим знаки выражения \( \frac{(x-11)(3x-8)}{6-x} \) на интервалах:
• При \( x < \frac{8}{3} \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{(-)(-)}{+} = + \)
• При \( \frac{8}{3} < x < 6 \) (например, \( x = 3 \)): \( \frac{(-)(+)}{+} = - \)
• При \( 6 < x < 11 \) (например, \( x = 7 \)): \( \frac{(-)(+)}{-} = + \)
• При \( x > 11 \) (например, \( x = 12 \)): \( \frac{(+)(+)}{-} = - \)
4. Так как нам нужно \( < 0 \), то решениями являются интервалы \( \frac{8}{3} < x < 6 \) и \( x > 11 \).

Ответ к а): \( x \in (\frac{8}{3}; 6) \cup (11; +\infty) \).

б) \( 8^x < 4^{x^2-1} \)

1. Представим основания степеней через степень 2: \( 8 = 2^3 \), \( 4 = 2^2 \).
2. Перепишем неравенство: \( (2^3)^x < (2^2)^{x^2-1} \)
3. Упростим: \( 2^{3x} < 2^{2(x^2-1)} \)
4. Так как основание степени \( 2 > 1 \), показатели степеней сравниваются в том же направлении:
5. \( 3x < 2(x^2-1) \)
6. \( 3x < 2x^2 - 2 \)
7. \( 0 < 2x^2 - 3x - 2 \)
8. Решим квадратное неравенство \( 2x^2 - 3x - 2 > 0 \). Найдём корни уравнения \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \) с помощью дискриминанта:
• \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \)
• \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)
• \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)
9. Парабола \( y = 2x^2 - 3x - 2 \) ветвями вверх. Неравенство \( > 0 \) выполняется вне корней.

Ответ к б): \( x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (2; +\infty) \).