№ 1. Найдите область определения функций: 1) $y=\frac{5}{2x+11}$; 2) $y=\frac{5}{x^2+5}$; 3) $y=\frac{5}{x^2-16}$; 4) $y=\sqrt{6x+3}$; 5) $y=\sqrt{7-2x}$; 6) $y=\frac{5}{\sqrt{2x-8}}$; 7) $y=\frac{5}{\sqrt{12-3x}}$; 8) $y=\sqrt{-x^2-2x+15}$; 9) $y=\frac{5}{\sqrt{x^2-7x+10}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: № 1. Найдите область определения функций: 1) $y=\frac{5}{2x+11}$; 2) $y=\frac{5}{x^2+5}$; 3) $y=\frac{5}{x^2-16}$; 4)…$ Фото задания

№ 1. Найдите область определения функций: 1) $y=\frac{5}{2x+11}$; 2) $y=\frac{5}{x^2+5}$; 3) $y=\frac{5}{x^2-16}$; 4) $y=\sqrt{6x+3}$; 5) $y=\sqrt{7-2x}$; 6) $y=\frac{5}{\sqrt{2x-8}}$; 7) $y=\frac{5}{\sqrt{12-3x}}$; 8) $y=\sqrt{-x^2-2x+15}$; 9) $y=\frac{5}{\sqrt{x^2-7x+10}}$.

Accepted Answer

Знаменатель не равен нулю: $2x+11\ne0$, поэтому $D(y)=(-\infty;-\frac{11}{2})\cup(-\frac{11}{2};+\infty)$.
Так как $x^2+5>0$ при любом $x$, то $D(y)=\mathbb{R}$.
$x^2-16\ne0$, откуда $x\ne\pm4$. Поэтому $D(y)=(-\infty;-4)\cup(-4;4)\cup(4;+\infty)$.
Подкоренное выражение неотрицательно: $6x+3\ge0$, поэтому $x\ge-\frac12$. $D(y)=[-\frac12;+\infty)$.
$7-2x\ge0$, поэтому $x\le\frac72$. $D(y)=(-\infty;\frac72]$.
Корень находится в знаменателе, поэтому $2x-8>0$. Следовательно, $D(y)=(4;+\infty)$.
Требуется $12-3x>0$, откуда $x<4$. $D(y)=(-\infty;4)$.
$-x^2-2x+15\ge0$, или $x^2+2x-15\le0$. Корни: $-5$ и $3$. Поэтому $D(y)=[-5;3]$.
Требуется $x^2-7x+10>0$. Разложим: $(x-2)(x-5)>0$. Отсюда $x<2$ или $x>5$. $D(y)=(-\infty;2)\cup(5;+\infty)$.

Ответ: 1) $\mathbb{R}\setminus\{-\frac{11}{2}\}$; 2) $\mathbb{R}$; 3) $\mathbb{R}\setminus\{-4;4\}$; 4) $[-\frac12;+\infty)$; 5) $(-\infty;\frac72]$; 6) $(4;+\infty)$; 7) $(-\infty;4)$; 8) $[-5;3]$; 9) $(-\infty;2)\cup(5;+\infty)$.