1. Найдите первообразную F(x) функции f(x) = 1 / sqrt(x+1) + 2x, если график первообразной проходит через точку M(3; 13).

Решение:

Первообразная функции \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}} + 2x \) находится путём интегрирования:

\( F(x) = \int \left( \frac{1}{\sqrt{x+1}} + 2x \right) dx \)

\( F(x) = \int (x+1)^{-\frac{1}{2}} dx + \int 2x dx \)

\( F(x) = \frac{(x+1)^{1-\frac{1}{2}}}{1-\frac{1}{2}} + 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} + C \)

\( F(x) = \frac{(x+1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + 2 \frac{x^2}{2} + C \)

\( F(x) = 2\sqrt{x+1} + x^2 + C \)

Теперь найдём значение константы \( C \), используя условие, что график первообразной проходит через точку \( M(3; 13) \), то есть \( F(3) = 13 \).

\( 13 = 2\sqrt{3+1} + 3^2 + C \)

\( 13 = 2\sqrt{4} + 9 + C \)

\( 13 = 2 \cdot 2 + 9 + C \)

\( 13 = 4 + 9 + C \)

\( 13 = 13 + C \)

\( C = 0 \)

Следовательно, первообразная имеет вид:

\( F(x) = 2\sqrt{x+1} + x^2 \)

Ответ: F(x) = 2\(\sqrt{x+1}\) + x^2.