3. Касательная к графику функции f(x) = 2x³ - 3x² - 4 параллельна прямой y = 12x + 1. Найдите абсциссу точки касания.

Решение:

Условие параллельности касательной и прямой \( y = 12x + 1 \) означает, что их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент касательной к графику функции \( f(x) \) равен значению её производной \( f'(x) \).

Найдём производную функции \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 4 \):

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 4) = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x - 0 = 6x^2 - 6x \)

Угловой коэффициент прямой \( y = 12x + 1 \) равен \( 12 \).

Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой:

\( 6x^2 - 6x = 12 \)

Разделим обе части уравнения на 6:

\( x^2 - x = 2 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - x - 2 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 1 \) и \( x_1 x_2 = -2 \). Корни: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -1 \).

Таким образом, абсциссы точек касания равны 2 и -1.

Ответ: 2; -1.