5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = -x² + 6x - 5, прямыми x = 2, x = 3 и осью абсцисс, изобразив рисунок.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) \), осью абсцисс и прямыми \( x=a \) и \( x=b \), вычисляется с помощью определённого интеграла \( S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \). В нашем случае \( a=2 \), \( b=3 \) и \( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \).

Сначала найдём точки пересечения параболы \( y = -x^2 + 6x - 5 \) с осью абсцисс (при \( y=0 \)):

\( -x^2 + 6x - 5 = 0 \)

\( x^2 - 6x + 5 = 0 \)

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 6 \) и \( x_1 x_2 = 5 \). Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 5 \).

На интервале \( [2; 3] \) функция \( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \) принимает положительные значения, так как вершина параболы находится в \( x = -\frac{6}{2(-1)} = 3 \), и \( f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 \). Таким образом, на отрезке \( [2; 3] \) функция находится выше оси абсцисс.

Вычислим площадь с помощью определённого интеграла:

\( S = \int_{2}^{3} (-x^2 + 6x - 5) dx \)

\( S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{6x^2}{2} - 5x \right]_{2}^{3} \)

\( S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x \right]_{2}^{3} \)

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\( S = \left( -\frac{3^3}{3} + 3(3)^2 - 5(3) \right) - \left( -\frac{2^3}{3} + 3(2)^2 - 5(2) \right) \)

\( S = \left( -\frac{27}{3} + 3(9) - 15 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 3(4) - 10 \right) \)

\( S = \left( -9 + 27 - 15 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 12 - 10 \right) \)

\( S = \left( 18 - 15 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 2 \right) \)

\( S = 3 - \left( -\frac{8}{3} + \frac{6}{3} \right) \)

\( S = 3 - \left( -\frac{2}{3} \right) \)

\( S = 3 + \frac{2}{3} = \frac{9}{3} + \frac{2}{3} = \frac{11}{3} \)

Рисунок:

График функции \( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \) — парабола, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии — \( x = 3 \). Вершина находится в точке \( (3; 4) \). Точки пересечения с осью X: \( (1; 0) \) и \( (5; 0) \). На интервале \( [2; 3] \) функция положительна. Площадь — это область под параболой, над осью X, между вертикальными линиями \( x=2 \) и \( x=3 \).

Ответ: \(\frac{11}{3}\).