1. Найдите производные функций: а) \(f(x)=x^3e^x\); б) \(f(x)=\frac{3-x}{x^2+2x}\); в) \(f(x)=\ln(5x)\); г) \(f(x)=(4x+1)^8\).

а) Применяем правило производной произведения:

\(f'(x)=3x^2e^x+x^3e^x=e^x(x^3+3x^2).\)

б) Применяем правило производной частного:

\(f'(x)=\frac{-(x^2+2x)-(3-x)(2x+2)}{(x^2+2x)^2}.\)

Упрощаем числитель: \(-(x^2+2x)-(3-x)(2x+2)=x^2-6x-6\).

\(f'(x)=\frac{x^2-6x-6}{(x^2+2x)^2},\quad x\ne0,-2.\)

в) По правилу производной логарифма сложной функции:

\(f'(x)=\frac{(5x)'}{5x}=\frac{5}{5x}=\frac1x,\quad x>0.\)

г) Применяем правило цепочки:

\(f'(x)=8(4x+1)^7\cdot4=32(4x+1)^7.\)

Ответ: а) \(e^x(x^3+3x^2)\); б) \(\frac{x^2-6x-6}{(x^2+2x)^2}\); в) \(\frac1x\); г) \(32(4x+1)^7\).