1. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 13 см, 20 см и 21 см.

Решение:

Для нахождения радиуса описанной окружности (R) используем формулу:

\[ R = \frac{abc}{4S} \]

где \(a, b, c\) — стороны треугольника, а \(S\) — его площадь.

1. Находим площадь треугольника по формуле Герона:

Сначала найдем полупериметр (p):

\[ p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27 \textrm{ см} \]

Теперь применим формулу Герона для площади (S):

\[ S = ∑\big( p(p-a)(p-b)(p-c) \big) \]

\[ S = ∑\big( 27(27-13)(27-20)(27-21) \big) \]

\[ S = ∑\big( 27 \times 14 \times 7 \times 6 \big) \]

\[ S = ∑\big( 27 \times 14 \times 42 \big) \]

\[ S = ∑\big( 378 \times 42 \big) \]

\[ S = ∑(15876) \]

\[ S = 126 \textrm{ см}^2 \]

1. Находим радиус описанной окружности:

Теперь подставим значения сторон \(a=13\), \(b=20\), \(c=21\) и площадь \(S=126\) в формулу радиуса описанной окружности:

\[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \times 20 \times 21}{4 \times 126} \]

\[ R = \frac{5460}{504} \]

Упростим дробь:

\[ R = \frac{5460}{504} = \frac{2730}{252} = \frac{1365}{126} = \frac{455}{42} = \frac{65}{6} \textrm{ см} \]

Ответ: Радиус описанной окружности равен ∕⁄⁠ см.