1. Найдите синус, косинус и тангенс большего острого угла прямоугольного треугольника с катетом 40см и гипотенузой 41 см.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( C = 90^ \). Катет \( a = 40 \) см, гипотенуза \( c = 41 \) см. Найдём второй катет \( b \) по теореме Пифагора:

\[ b^2 = c^2 - a^2 \]

\[ b^2 = 41^2 - 40^2 \]

\[ b^2 = (41-40)(41+40) = 1 \cdot 81 = 81 \]

\[ b = \sqrt{81} = 9 \) см.

Углы, противолежащие катетам, — это острые углы треугольника. Большему острому углу противолежит больший катет. В данном случае катет \( a = 40 \) см больше, чем катет \( b = 9 \) см. Значит, нам нужно найти синус, косинус и тангенс угла \( A \) (угол, противолежащий катету \( a \)).

Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе:

\[ \sin A = \frac{a}{c} = \frac{40}{41} \]

Косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\[ \cos A = \frac{b}{c} = \frac{9}{41} \]

Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему:

\[ \operatorname{tg} A = \frac{a}{b} = \frac{40}{9} \]

Ответ: \( \sin A = \frac{40}{41} \), \( \cos A = \frac{9}{41} \), \( \operatorname{tg} A = \frac{40}{9} \).