3. В треугольнике АВС с прямым углом С и высотой СН катет ВС равен 6√3 см, а отрезок ВН равен 9 см. Найдите острые углы прямоугольного треугольника.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \) с прямым углом \( \angle C = 90^ \). Проведена высота \( CH \) к гипотенузе. Известно, что \( BC = a = 6\sqrt{3} \) см и \( BH = 9 \) см.

В прямоугольном треугольнике \( \triangle CBH \) (где \( \angle CHB = 90^ \)) катет \( BC \) является гипотенузой.

Рассмотрим \( \triangle ABC \). По теореме Пифагора:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

Также, в прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) справедливо соотношение:

\[ BC^2 = BH \cdot AB \]

Подставим известные значения:

\[ (6\sqrt{3})^2 = 9 \cdot AB \]

\[ 36 \cdot 3 = 9 \cdot AB \]

\[ 108 = 9 \cdot AB \]

\[ AB = \frac{108}{9} = 12 \) см.

Теперь найдём второй катет \( AC \) по теореме Пифагора:

\[ AC^2 + (6\sqrt{3})^2 = 12^2 \]

\[ AC^2 + 108 = 144 \]

\[ AC^2 = 144 - 108 = 36 \]

\[ AC = \sqrt{36} = 6 \) см.

Теперь найдём острые углы \( \angle A \) и \( \angle B \).

Для угла \( \angle B \):

\[ \operatorname{tg} B = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Угол, тангенс которого равен \( \frac{1}{\sqrt{3}} \), это \( 30^ \). Значит, \( \angle B = 30^ \).

Для угла \( \angle A \):

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \( 90^ \):

\[ \angle A = 90^ - \angle B = 90^ - 30^ = 60^ \]

Проверка:

\[ \operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \]

Угол, тангенс которого равен \( \sqrt{3} \), это \( 60^ \).

Ответ: Острые углы прямоугольного треугольника равны 30° и 60°.