1. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии bn, у которой известны первый член и знаменатель: a) b₁ = 3, q = 1/4; б) b₁ = 15, q = -1/2.

Решение:

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \( S = \frac{b_1}{1 - q} \), где \( |q| < 1 \).

а)

1. Известно: \( b_1 = 3 \), \( q = \frac{1}{4} \).
2. Проверяем условие \( |q| < 1 \): \( \left| \frac{1}{4} \right| = \frac{1}{4} < 1 \). Условие выполняется.
3. Находим сумму: \( S = \frac{3}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{3}{\frac{3}{4}} = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4 \).

б)

1. Известно: \( b_1 = 15 \), \( q = -\frac{1}{2} \).
2. Проверяем условие \( |q| < 1 \): \( \left| -\frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} < 1 \). Условие выполняется.
3. Находим сумму: \( S = \frac{15}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{15}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{15}{\frac{3}{2}} = 15 \cdot \frac{2}{3} = 10 \).

Ответ: а) 4; б) 10.