2. Представьте бесконечную периодическую дробь 0,4(3) в виде обыкновенной дроби, используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Решение:

Представим дробь \( 0,4(3) \) как сумму:

\( 0,4(3) = 0,4 + 0,0(3) = \frac{4}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \frac{3}{10000} + \dots \)

Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

\( \frac{3}{100}, \frac{3}{1000}, \frac{3}{10000}, \dots \)

Первый член прогрессии \( b_1 = \frac{3}{100} \).

Знаменатель прогрессии \( q = \frac{\frac{3}{1000}}{\frac{3}{100}} = \frac{1}{10} \).

Поскольку \( |q| = \left| \frac{1}{10} \right| < 1 \), сумма прогрессии существует и равна:

\( S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\frac{3}{100}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{100}}{\frac{9}{10}} = \frac{3}{100} \cdot \frac{10}{9} = \frac{3}{10 \cdot 9} = \frac{1}{30} \).

Теперь найдём сумму всей дроби:

\( 0,4(3) = \frac{4}{10} + S = \frac{4}{10} + \frac{1}{30} \)

Приведём к общему знаменателю \( 30 \):

\( \frac{4 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{1}{30} = \frac{12}{30} + \frac{1}{30} = \frac{13}{30} \).

Ответ: \( \frac{13}{30} \).