3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии -√2; 1; -1/√2; ...

Решение:

Данная прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

1. Найдем первый член прогрессии: \( b_1 = -\sqrt{2} \).
2. Найдем знаменатель прогрессии, разделив второй член на первый: \( q = \frac{1}{- \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \).
3. Проверим условие сходимости: \( |q| = \left| -\frac{1}{\sqrt{2}} \right| = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Так как \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), то \( \frac{1}{\sqrt{2}} < 1 \). Условие сходимости выполняется.
4. Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии по формуле \( S = \frac{b_1}{1 - q} \):

\[ S = \frac{- \sqrt{2}}{1 - \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)} = \frac{- \sqrt{2}}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} \]

Приведем знаменатель к общему виду:

\[ S = \frac{- \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}} \]

Выполним деление:

\[ S = -\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = -\frac{2}{\sqrt{2} + 1} \]

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{2} - 1 \):

\[ S = -\frac{2(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = -\frac{2(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = -\frac{2(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = -\frac{2(\sqrt{2} - 1)}{1} = -2(\sqrt{2} - 1) = -2\sqrt{2} + 2 \]

Ответ: \( 2 - 2\sqrt{2} \).