Ответ:

Выполним действия по порядку:

\[\frac{34}{9}\cdot\frac{17}{54}:\frac{5}{6}=\frac{34}{9}\cdot\frac{17}{54}\cdot\frac{6}{5}.\]

Сократим дробь:

\[\frac{34\cdot17\cdot6}{9\cdot54\cdot5}=\frac{578}{405}.\]

Ответ: \(\frac{578}{405}\).