1. Найдите значение выражения $$ \frac{(6^2 \cdot 6^7)^4}{(6 \cdot 6^5)^5} $$

Решение:

Воспользуемся свойствами степеней: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

Упростим числитель:

• \( (6^2 \cdot 6^7)^4 = (6^{2+7})^4 = (6^9)^4 = 6^{9 \cdot 4} = 6^{36} \)

Упростим знаменатель:

• \( (6 \cdot 6^5)^5 = (6^{1+5})^5 = (6^6)^5 = 6^{6 \cdot 5} = 6^{30} \)

Теперь разделим числитель на знаменатель:

• \( \frac{6^{36}}{6^{30}} = 6^{36-30} = 6^6 \)

Вычислим значение:

• \( 6^6 = 46656 \)

Ответ: 46656