7. Найдите значение выражения $$ \frac{\sqrt{49a^{11}} \cdot \sqrt{16b^6}}{\sqrt{a^7b^6}} $$ при a=4, b=11.

Решение:

Упростим выражение, используя свойства корней \( \sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y} \) и \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \), а также \( \sqrt{x^n} = x^{n/2} \).

• \( \sqrt{49a^{11}} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{a^{11}} = 7 \cdot a^{11/2} \)
• \( \sqrt{16b^6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{b^6} = 4 \cdot b^{6/2} = 4 \cdot b^3 \)
• \( \sqrt{a^7b^6} = \sqrt{a^7} \cdot \sqrt{b^6} = a^{7/2} \cdot b^{6/2} = a^{7/2} \cdot b^3 \)

Теперь подставим это в исходное выражение:

• \( \frac{7 \cdot a^{11/2} \cdot 4 \cdot b^3}{a^{7/2} \cdot b^3} \)
• \( = \frac{28 \cdot a^{11/2} \cdot b^3}{a^{7/2} \cdot b^3} \)
• \( = 28 \cdot a^{(11/2 - 7/2)} \cdot b^{(3-3)} \)
• \( = 28 \cdot a^{4/2} \cdot b^0 \)
• \( = 28 \cdot a^2 \cdot 1 \)
• \( = 28a^2 \)

Теперь подставим \( a=4 \):

• \( 28 \cdot (4)^2 \)
• \( = 28 \cdot 16 \)
• \( = 448 \)

Ответ: 448