1. Найти количество решений уравнения 2|x| + |3-2x| = а в зависимости от значений параметра а.

Решение задачи 1:

Дано уравнение: \( 2|x| + |3 - 2x| = a \)

Рассмотрим функцию \( f(x) = 2|x| + |3 - 2x| \) и построим её график.

Определим точки, в которых меняется знак под модулем: \( x = 0 \) и \( 3 - 2x = 0 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 1.5 \).

Рассмотрим три интервала:

1. \( x < 0 \):

\( f(x) = 2(-x) + (3 - 2x) = -2x + 3 - 2x = -4x + 3 \)

2. \( 0 ≤ x < 1.5 \):

\( f(x) = 2(x) + (3 - 2x) = 2x + 3 - 2x = 3 \)

3. \( x ≥ 1.5 \):

\( f(x) = 2(x) - (3 - 2x) = 2x - 3 + 2x = 4x - 3 \)

Теперь построим график функции \( f(x) \).

• На интервале \( x < 0 \), \( f(x) = -4x + 3 \) — это луч, исходящий из точки \( (0, 3) \) и идущий вверх влево.
• На интервале \( 0 ≤ x < 1.5 \), \( f(x) = 3 \) — это горизонтальный отрезок от \( (0, 3) \) до \( (1.5, 3) \).
• На интервале \( x ≥ 1.5 \), \( f(x) = 4x - 3 \) — это луч, исходящий из точки \( (1.5, 3) \) и идущий вверх вправо.

Минимальное значение функции \( f(x) \) равно 3 (на интервале \( [0, 1.5] \)).

Количество решений уравнения \( f(x) = a \) зависит от значения \( a \):

• Если \( a < 3 \), решений нет.
• Если \( a = 3 \), решений два ( \( x=0 \) и \( x=1.5 \) ).
• Если \( a > 3 \), решений два.

Ответ:

• При \( a < 3 \) — 0 решений.
• При \( a = 3 \) — 2 решения.
• При \( a > 3 \) — 2 решения.