3. Решите уравнение |2 - 8x| = x + 6.

Решение задачи 3:

Дано уравнение: \( |2 - 8x| = x + 6 \)

По определению модуля, \( |2 - 8x| = 2 - 8x \) если \( 2 - 8x ≥ 0 \), то есть \( 8x ≤ 2 \), \( x ≤ 1/4 \).

И \( |2 - 8x| = -(2 - 8x) = 8x - 2 \) если \( 2 - 8x < 0 \), то есть \( x > 1/4 \).

Кроме того, правая часть уравнения \( x + 6 \) должна быть неотрицательной, так как она равна модулю, то есть \( x + 6 ≥ 0 \), откуда \( x ≥ -6 \).

Случай 1: \( x ≤ 1/4 \)

\( 2 - 8x = x + 6 \)

\( -8x - x = 6 - 2 \)

\( -9x = 4 \)

\( x = -4/9 \)

Проверяем условие \( x ≤ 1/4 \): \( -4/9 ≤ 1/4 \) (верно, т.к. \( -4/9 ≈ -0.44 \) и \( 1/4 = 0.25 \)).

Проверяем условие \( x ≥ -6 \): \( -4/9 ≥ -6 \) (верно).

Значит, \( x = -4/9 \) — корень.

Случай 2: \( x > 1/4 \)

\( 8x - 2 = x + 6 \)

\( 8x - x = 6 + 2 \)

\( 7x = 8 \)

\( x = 8/7 \)

Проверяем условие \( x > 1/4 \): \( 8/7 > 1/4 \) (верно, т.к. \( 8/7 ≈ 1.14 \)).

Проверяем условие \( x ≥ -6 \): \( 8/7 ≥ -6 \) (верно).

Значит, \( x = 8/7 \) — корень.

Ответ: \( x = -4/9 \) и \( x = 8/7 \).