1. Найти производную функции: 1) −x⁵ + 2x³ − 3x² − 1; 2) 2/x³ − 8√x; 3) sin(x − 3) − ln(1 − 2x); 4) x³ ln x; 5) ln x/(1 − x).

Question

Вопрос:

1. Найти производную функции: 1) −x⁵ + 2x³ − 3x² − 1; 2) 2/x³ − 8√x; 3) sin(x − 3) − ln(1 − 2x); 4) x³ ln x; 5) ln x/(1 − x).

Accepted Answer

Используем правила дифференцирования степенной, логарифмической и тригонометрической функций, а также правила произведения и частного.

Почленно дифференцируем: \(f'(x)=-5x^4+6x^2-6x\).
Представим выражение как \(2x^{-3}-8x^{1/2}\):
\(f'(x)=-6x^{-4}-4x^{-1/2}=-\frac{6}{x^4}-\frac{4}{\sqrt{x}}\).
Применяем правило цепочки:
\(f'(x)=\cos(x-3)-\frac{-2}{1-2x}=\cos(x-3)+\frac{2}{1-2x}\).
По правилу произведения:
\(f'(x)=3x^2\ln x+x^3\cdot\frac{1}{x}=3x^2\ln x+x^2\).
По правилу частного:
\(f'(x)=\frac{\frac{1}{x}(1-x)-\ln x\cdot(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x+x\ln x}{x(1-x)^2}\).

Ответ: 1) \(-5x^4+6x^2-6x\); 2) \(-\frac{6}{x^4}-\frac{4}{\sqrt{x}}\); 3) \(\cos(x-3)+\frac{2}{1-2x}\); 4) \(3x^2\ln x+x^2\); 5) \(\frac{1-x+x\ln x}{x(1-x)^2}\).