3. Найти значение производной функции f(x) в точке x₀: f(x)=eˣ ln x, x₀=1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀: f(x)=x³+3x, x₀=3.

Для \(f(x)=e^x\ln x\) применяем правило произведения:

\(f'(x)=e^x\ln x+e^x\cdot\frac{1}{x}=e^x\left(\ln x+\frac{1}{x}\right)\).

Подставляем \(x_0=1\): \(f'(1)=e(\ln 1+1)=e\).

Ответ: \(f'(1)=e\).

Для \(f(x)=x^3+3x\) производная равна \(f'(x)=3x^2+3\). В точке \(x_0=3\): \(f(3)=36\), \(f'(3)=30\).

Уравнение касательной: \(y-f(3)=f'(3)(x-3)\), поэтому \(y-36=30(x-3)\), откуда \(y=30x-54\).

Уравнение касательной: \(y=30x-54\).